Operasi hitung bilangan

A. Mengidentifikasi Sifat Operasi Hitung Kamu telah mengenal operasi hitung bilangan, yaitu penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan pembagian. Tahukah kamu, sifat-sifat apa saja yang berlaku pada operasi hitung tersebut? Mari kita selidiki dan pelajari bersama. 1. Sifat Pertukaran (Komutatif) Sebelum mengenal sifat komutatif, marilah terlebih dulu melengkapi tabel penjumlahan berikut ini dan menjawab pertanyaan di bawahnya.

Dari tabel di atas, coba kamu selidiki: a. Apakah 1 + 3 hasilnya sama dengan 3 + 1? b. Apakah 4 + 6 hasilnya sama dengan 6 + 4? c. Apakah 7 + 9 hasilnya sama dengan 9 + 7? Mari kita lihat hasilnya dari tabel penjumlahan di atas. a. 1 + 3 = 4 3 + 1 = 4 􀂽 􀂾 􀂿 Jadi, 1 + 3 = 3 + 1 b. 􀂽 􀂾 􀂿 4 + 6 = 10 6 + 4 = 10 Jadi, 4 + 6 = 6 + 4 c. 􀂽 􀂾 􀂿 7 + 9 = 16 9 + 7 = 16 Jadi, 7 + 9 = 9 + 7 Ternyata hasil penjumlahan tetap sama dengan suku yang dibalik (ditukar). Coba sebutkan contoh-contoh penjumlahan yang lain, kemudian baliklah penjumlahan tersebut. Samakah hasilnya? Sekarang, kita selidiki dalam operasi hitung perkalian. Marilah melengkapi tabel perkalian berikut ini.

Dari tabel di atas, coba kamu selidiki: a. Apakah 4 × 2 hasilnya sama dengan 2 × 4? b. Apakah 5 × 7 hasilnya sama dengan 7 × 5? c. Apakah 1 × 9 hasilnya sama dengan 9 × 1? Nah kawan, sifat seperti itulah yang disebut sifat pertukaran atau sifat komutatif. Mari kita tuliskan kesimpulannya bersamasama. Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pertukaran atau sifat komutatif, yaitu:

2. Sifat Pengelompokan (Asosiatif)

Setelah mengenal sifat komutatif, berikutnya kalian akan mempelajari sifat asosiatif. Bagaimanakah sifat asosiatif itu? Untuk menyelidiki sifat asosiatif, kerjakan operasi penjumlahan dan perkalian tiga bilangan di bawah ini.

a. 4 + 6 + 8 b. 2 × 5 × 3 Coba hitung dari dua sisi, yaitu dari kiri dan dari kanan. a. 4 + 6 + 8 Menjumlahkan dari kiri: 4 + 6 + 8 = (4 + 6) + 8 = 10 + 8 = 18 Menjumlahkan dari kanan: 4 + 6 + 8 = 4 + (6 + 8) = 4 + 14 = 18 Ternyata diperoleh hasil yang sama. Jadi, (4 + 6) + 8 = 4 + (6 + 8)

b. 2 × 5 × 3 Mengalikan dari kiri: 2 × 5 × 3 = (2 × 5) × 3 = 10 × 3 = 30 Mengalikan dari kanan: 2 × 5 × 3 = 2 × (5 × 3) = 2 × 15 = 30 Ternyata diperoleh hasil yang sama. Jadi, (2 × 5) × 3 = 2 × (5 × 3)

Nah, sifat seperti itulah yang disebut sifat asosiatif. Coba kalian selidiki untuk beberapa penjumlahan dan perkalian tiga bilangan yang lain.

Dalam penjumlahan dan perkalian bilangan berlaku sifat pengelompokan atau sifat asosiatif, yaitu:

(a + b) + c = a + (b + c) (a × b) × c = a × (b × c)

3. Sifat Penyebaran (Distributif)

Apakah sifat penyebaran atau distributif itu? Untuk mempermudah mempelajarinya, perhatikan contoh masalah berikut ini. Ema dan Menik pergi ke pasar buah membeli jeruk. Mereka masingmasing membeli 4 kilogram dan 5 kilogram. Setiap kilogram terdiri atas 8 buah jeruk. Berapa banyaknya buah jeruk yang mereka beli? Mari kita selesaikan contoh permasalahan di atas. Kalian coba dengan 2 cara sebagai berikut.

Kalian bisa lihat bahwa hasil dari cara 1 dan cara 2 adalah sama. Dari hasil ini dapat kita tuliskan:

8 × (4 + 5) = (8 × 5) + (8 × 4)

Nah, sifat seperti itulah yang disebut sifat pengelompokan atau sifat distributif. Dari contoh di atas, sifat ini berlaku pada gabungan operasi perkalian dan penjumlahan.

Selain itu, sifat ini juga berlaku pada gabungan operasi hitung perkalian dan pengurangan. Kamu dapat membuktikan dengan mengerjakan operasi hitung berikut ini.

Pasti kamu peroleh jawaban-jawaban yang sama pada kedua kolom. Sehingga dapat kita tuliskan sifat penyebaran atau sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan sebagai berikut.

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

4. Menggunakan Sifat-Sifat Operasi Hitung

Sifat-sifat operasi bilangan yang telah kalian selidiki dan pelajari, ternyata sangat membantu untuk mempermudah perhitungan pada operasi hitung bilangan bulat. Contoh:

a. 216 + 300 = 300 + 216 (sifat komutatif) = 516

b. (4 × 5) × 20 = 4 × (5 × 20) (sifat asosiatif) = 4 × 100 = 400

c. (9 × 13) – (9 × 3) = 9 × (13 – 3) (sifat distributif) = 9 × 10 = 90

d. 25 × 999 = 25 × (1.000 – 1) = (25 × 1.000) – (25 × 1) (sifat distributif) = 25.000 – 25 = 24.975 e. 200 + 416 + 300 = 200 + 300 + 416 (sifat komutatif) = (200 + 300) + 416 (sifat asosiatif) = 500 + 416 = 916

Dengan sifat komutatif, bilangan 300 dapat ditukar tempatnya dengan bilangan 416. Kemudian bilangan 200 dan 300 dikelompokkan. Sehingga penjumlahan lebih mudah dilakukan. Coba bandingkan jika penjumlahan dilakukan biasa.

B. Bilangan Ribuan

Dari kelas I sampai kelas III, kalian sudah mengenal bilangan satuan yang terdiri dari 1 angka, bilangan puluhan yang terdiri dari 2 angka, dan bilangan ratusan yang terdiri dari 3 angka. Sekarang, kalian lanjutkan untuk mempelajari bilangan yang lebih besar lagi, yaitu bilangan yang terdiri dari 4 angka.

1. Mengenal Bilangan Ribuan

Coba kamu perhatikan gambar uang di bawah ini. Kita mengenal uang ini sebagai uang seribuan.

a. Berapakah nilai uang tersebut? b. Ada berapa angka dalam bilangan pada uang tersebut?

Uang tersebut bernilai Rp1.000,00 dibaca seribu rupiah. Ada 4 angka dalam bilangan 1.000

1.000 (Dibaca: seribu)

Bilangan yang terdiri dari 4 angka disebut bilangan ribuan. Nilai tempat dan nilai angka dari bilangan ribuan ditunjukkan oleh contoh bilangan 1.234 berikut ini.

Bilangan 1.234 dibaca ”seribu dua ratus tiga puluh empat”.

Coba kamu jumlahkan semua nilai angka pada kolom ketiga tabel di atas. Akan kamu peroleh bentuk penjumlahan sebagai berikut.

1.234 = 1.000 + 200 + 30 + 4 

Bentuk penjumlahan dari nilai-nilai angka disebut bentuk

panjang dari suatu bilangan.

2. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan

Untuk membandingkan dua bilangan, kalian bandingkan masing-masing angka dari kedua bilangan yang mempunyai nilai tempat sama (dimulai dari angka yang paling kiri).

Bandingkan angka ribuan. Jika sama, bandingkan angka ratusan. Jika sama, bandingkan angka puluhan. Jika sama, bandingkan angka satuan. Jika keempat angka tersebut sama, maka dua bilangan yang kita bandingkan sama nilainya.

Setelah dapat membandingkan bilangan, kita dapat mengurutkannya.

Contoh: Urutkan bilangan-bilangan 5.235, 6.981, 4.564

Jawab: Dapat kita bandingkan bahwa: 4.564 < 5.235 < 6.981 Jadi, urutan bilangan tersebut adalah 4.564, 5.235, 6.981

C. Perkalian dan Pembagian Bilangan

Di kelas II dan III, kalian telah mempelajari tentang perkalian dan pembagian dua bilangan. Apakah kalian hafal perkalian bilangan-bilangan 1 sampai 10?

Coba kalian tuliskan tabel perkalian bilangan 1 sampai 10 dan pembagian bilangan 1 sampai 100 pada buku tugasmu. Kalau sudah hafal perkalian dan pembagian bilangan dasar tersebut, maka kamu akan mudah untuk mempelajari perkalian bilanganbilangan yang lebih besar.

1. Melakukan Operasi Perkalian

Di kelas-kelas sebelumnya kita menghitung perkalian dengan penjumlahan yang berulang. Mari kita ingat kembali masalah perkalian. Ema mempunyai 4 kaleng permen pemberian paman. Setelah dibuka satu kaleng ternyata berisi 21 permen. Menurut Paman, semua kaleng isinya sama. Berapa banyaknya permen Ema pemberian paman?

Banyaknya permen Ema dapat kita cari dengan perkalian bilangan 4 × 21.

1. Dengan definisi perkalian sebagai penjumlahan yang berulang, maka bentuk perkalian tersebut dapat kita tuliskan: 4 × 21 = 21 + 21 + 21 + 21 = 84

2. Dengan perkalian langsung dapat kita tuliskan 4 × 21 = 21 × 4 (sifat komutatif perkalian). 21 × 4 = 84

3. Dengan perkalian bersusun dapat kita tuliskan:

Cara susun pertama disebut cara susun pendek. Sedangkan cara susun kedua disebut cara susun panjang.

Dari ketiga cara perkalian di atas, kalian peroleh hasil yang sama. Jadi, banyaknya permen Ema pemberian Paman adalah 84 permen.

2. Melakukan Operasi Pembagian

Pada kelas-kelas sebelumnya, kalian mengenal pembagian sebagai pengurangan yang berulang oleh bilangan pembagi terhadap bilangan yang dibagi.

a. Bagaimana cara membagi bilangan 20 dengan 5? Mari kita kurangi secara berulang. 20 – 5 = 15 15 – 5 = 10 10 – 5 = 5 5 – 5 = 0 Berapa kali pengurangan dilakukan? Berapa hasil akhir pengurangan berulang tersebut? Dalam operasi pembagian dituliskan: 20 : 5 = 4 Pembagian tersebut dinamakan pembagian tanpa sisa.

b. Bandingkan dengan pembagian bilangan 20 oleh bilangan 6 berikut ini. 20 – 6 = 14 14 – 6 = 8 8 – 6 = 2 Berapa kali pengurangan dilakukan? Berapa hasil akhir pengurangan berulang tersebut? Dalam operasi pembagian dituliskan: 20 : 6 = 3 (sisa 2) Pembagian tersebut dinamakan pembagian bersisa. Hasil pembagian bersisa kita tuliskan sebagai berikut. 20 : 6 = 3 (sisa 2) = 3 2 6 = 3 1 3 Bentuk tersebut dinamakan pecahan campuran.

Coba kalian tentukan di antara pembagian-pembagian berikut, manakah yang merupakan pembagian tanpa sisa dan mana yang merupakan pembagian bersisa.

D. Operasi Hitung Campuran

Kamu sudah mengenal operasi-operasi hitung bilangan yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Tahukah kamu bahwa operasi-operasi hitung tersebut mempunyai tingkatan dalam urutan pengerjaannya.

Mari kita selesaikan operasi hitung campuran penjumlahan dan pengurangan berikut ini.

1. 456 + 167 – 308 = (456 + 167) – 308 = 623 – 308 = 315

2. 695 – 500 + 75 = (695 – 500) + 75 = 195 + 75 = 270

Operasi penjumlahan dan pengurangan adalah setingkat. Urutan pengerjaannya mulai dari kiri.

Selanjutnya, mari kita selesaikan operasi hitung campuran perkalian dan pembagian berikut ini.

1. 28 × 10 : 4 = (28 × 10) : 4 = 280 : 4 = 70

2. 450 : 75 × 16 = (450 : 75) × 16 = 6 × 16 = 96

Operasi perkalian dan pembagian adalah setingkat. Urutan pengerjaannya mulai dari kiri.

Operasi hitung perkalian dan pembagian berasal dari penjumlahan dan pengurangan yang berulang, maka mempunyai tingkatan yang lebih tinggi. Sehingga operasi hitung perkalian dan pembagian harus didahulukan daripada penjumlahan dan pengurangan.

1. 187 + 39 : 3 = 187 + (39 : 3) = 187 + 13 = 200

2. 196 – 5 × 25 = 196 – (5 × 25) = 196 – 125 = 71

Contoh:

1. 40 + 16 × 10 = . . . . Jawab: 40 + 16 × 10 = 40 + (16 × 10) = 40 + 160 = 200

2. 14 × 10 – 1.750 : 25 = . . . . Jawab: 14 × 10 – 1.750 : 25 = (14 × 10) – (1.750 : 25) = 140 – 70 = 70

3. (640 + 360) : 10 = . . . . Jawab: (640 + 360) : 10 = 1.000 : 10 = 100

E. Pembulatan dan Penaksiran

Kawan-kawan, tahukah kalian yang dimaksud pembulatan bilangan? Mari kita pelajari bersama-sama.

1. Pembulatan Bilangan

Bagaimana aturan pembulatan bilangan? Mari kita perhatikan contoh-contoh pembulatan di bawah ini.

a. 1,8 lebih dekat ke bilangan satuan 2, maka 1,8 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 2 3,4 lebih dekat ke bilangan satuan 3, maka 3,4 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi menjadi 3 Contoh di atas merupakan pembulatan bilangan pada satuan terdekat.

b. 52 lebih dekat ke bilangan puluhan 50, maka 52 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 50 169 lebih dekat ke bilangan puluhan 170, maka 169 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 170 Contoh di atas merupakan pembulatan bilangan pada puluhan terdekat.

c. 175 lebih dekat ke bilangan ratusan 200, maka 175 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 200 425 lebih dekat ke bilangan ratusan 400, maka 425 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 400 Contoh di atas merupakan pembulatan bilangan pada ratusan terdekat.

Apa yang dapat kamu simpulkan dari contoh-contoh pembulatan di atas? Mari kita tuliskan.

a. Pembulatan Bilangan ke Satuan Terdekat

1) Kita perhatikan angka pada persepuluhan (di belakang koma). 2) Jika angka tersebut kurang dari 5 (1, 2, 3, 4), maka bilangan dibulatkan ke bawah (dihilangkan). Contoh:

(dibulatkan ke bawah) Jadi, 2,3 dibulatkan menjadi 2 3) Jika angka tersebut paling sedikit 5 (5, 6, 7, 8, 9), maka bilangan dibulatkan ke atas (satuan ditambah 1). Contoh:

(dibulatkan ke atas) Jadi, 5,7 dibulatkan menjadi 6

b. Pembulatan Bilangan ke Puluhan Terdekat

1) Kita perhatikan angka pada satuan.

2) Jika angka tersebut kurang dari 5 (1, 2, 3, 4), maka bilangan dibulatkan ke bawah (dihilangkan). Contoh:

(dibulatkan ke bawah) Jadi, 14 dibulatkan menjadi 10 3) Jika angka tersebut paling sedikit 5 (5, 6, 7, 8, 9), maka bilangan dibulatkan ke atas (puluhan ditambah 1). Contoh:

(dibulatkan ke atas) Jadi, 76 dibulatkan menjadi 80

2. Menaksir Hasil Operasi Hitung Dua Bilangan

Setelah kalian mengingat pelajaran pembulatan bilangan, kemudian akan kita mempelajari taksiran operasi hitung. Menaksir operasi hitung adalah memperkirakan hasil operasi hitung.

Contoh: Taksirlah hasil operasi hitung 1.650 + 73.150

Jawab: 1.650 dibulatkan menjadi 2.000 73.150 dibulatkan menjadi 73.000 Jadi, taksiran 1.650 + 72.150 adalah 2.000 + 73.000 = 75.000

Ada tiga macam cara menaksir hasil operasi hitung, yaitu taksiran atas, taksiran bawah, dan taksiran terbaik. Mari kita pelajari bersama-sama.

a. Taksiran Atas Taksiran atas dilakukan dengan membulatkan ke atas bilanganbilangan dalam operasi hitung. Contoh: Tentukan hasil dari operasi hitung 22 × 58. Jawab: Karena taksiran atas, maka setiap bilangan dibulatkan ke atas. 22 dibulatkan ke atas menjadi 30 58 dibulatkan ke atas menjadi 60 Jadi, taksiran 22 × 58 adalah 30 × 60 = 1.800

b. Taksiran Bawah

Taksiran bawah dilakukan dengan membulatkan ke bawah bilangan-bilangan dalam operasi hitung.

Contoh: Tentukan hasil taksiran bawah dari operasi hitung 22 × 58

Jawab: Karena ini taksiran bawah, maka bilangan dibulatkan ke bawah. 22 dibulatkan ke bawah menjadi 20 58 dibulatkan ke bawah menjadi 50 Jadi, taksiran 22 × 58 adalah 20 × 50 = 1.000

c. Taksiran Terbaik

Taksiran terbaik dilakukan dengan membulatkan bilanganbilangan dalam operasi hitung menurut aturan pembulatan.

Contoh: Tentukan hasil taksiran terbaik dari operasi hitung 22 × 58

Jawab: 22 menurut aturan pembulatan dibulatkan menjadi 20 58 menurut aturan pembulatan dibulatkan menjadi 60 Jadi, taksiran 22 × 58 adalah 20 × 60 = 1.200

F. Menaksir Harga Kumpulan Barang

Bilangan yang menyatakan nilai uang adalah bilangan bulat. Mari mempelajari masalah yang berkaitan dengan uang, yaitu menaksir harga kumpulan barang.

Di koperasi sekolah dijual beragam barang kebutuhan sekolah seperti buku, pensil, bolpoin, dan penghapus. Daftar harga barangbarang di koperasi sekolah adalah sebagai berikut.

Jika Abid ingin membeli 2 buku tulis, 1 bolpoin, dan 1 penghapus, kira-kira berapa banyaknya uang yang harus dimiliki Abid?

Coba kalian selesaikan bersama

Dengan prinsip dasar pembulatan ke ratusan terdekat, dapat kalian peroleh pembulatan sebagai berikut. Rp1.450,00 dibulatkan menjadi Rp1.500,00 Rp1.275,00 dibulatkan menjadi Rp1.300,00 Rp675,00 dibulatkan menjadi Rp700,00

Maka jumlah harganya adalah: 2 buku tulis 2 × Rp1.500,00 = Rp3.000,00 1 bolpoin 1 × Rp1.300,00 = Rp1.300,00 1 penghapus 1 × Rp700,00 = Rp 700,00 + Jumlah = Rp5.000,00 Jadi, Abid harus memiliki uang kurang lebih Rp5.000,00.

Untuk melakukan penaksiran operasi hitung uang dalam satuan ribuan atau lebih, dapat dilakukan dengan pembulatan sampai ribuan terdekat.

Contoh: Marbun dan ibunya membeli 3 baju, 1 kaos, dan 1 celana. Harga setiap baju, kaos, dan celana berturut-turut adalah Rp39.575,00, Rp15.750,00, dan Rp24.250,00. Berapa kira-kira Marbun dan ibunya harus membayar di kasir?

Jawab: Taksiran harga dalam ribuan terdekat adalah sebagai berikut. Harga baju: Rp39.575,00 ditaksir Rp40.000,00 Harga kaos: Rp15.750,00 ditaksir Rp16.000,00 Harga celana: Rp24.250,00 ditaksir Rp24.000,00

Marbun dan ibunya membeli 3 baju, 1 celana pendek, dan 1 celana panjang. Taksiran harga 3 baju: 3 × Rp40.000,00 = Rp120.000,00 Taksiran harga 1 kaos: 1 × Rp16.000,00 = Rp16.000,00 Taksiran harga 1 celana: 1 × Rp24.000,00 = Rp24.000,00 Taksiran harga total adalah: Rp120.000,00 + Rp16.000,00 + Rp24.000,00 = Rp160.000,00 Jadi, Marbun dan ibunya harus membayar kira-kira Rp160.000,00.