Kelipatan dan faktor bilangan

A. Kelipatan Bilangan Kita telah mengenal operasi hitung penjumlahan dan perkalian bilangan. Operasi-operasi hitung tersebut harus benar-benar kamu pahami karena akan kita gunakan dalam mempelajari kelipatan dan faktor bilangan.

1. Menentukan Kelipatan Suatu Bilangan

Masih ingatkah kalian dengan membilang bilangan loncat? Mari kita perhatikan garis bilangan di bawah ini.

Mari kita tuliskan bilangan loncat 2 yang ditunjukkan tanda panah pada garis bilangan di atas. 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya

Dari manakah bilangan-bilangan tersebut diperoleh? Mari kita selidiki bersama-sama. 2 = 2 = 1 × 2 4 = 2 + 2 = 2 × 2 6 = 4 + 2 = 2 + 2 + 2 = 3 × 2 8 = 6 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4 × 2 10 = 8 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 × 2 dan seterusnya

Ternyata bilangan-bilangan tersebut diperoleh dengan menambahkan 2 dari bilangan sebelumnya atau mengalikan 2 dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan kelipatan 2. Dengan cara yang sama dapat kita cari bilangan kelipatan 5 sebagai berikut.

5 × 1 = 5 5 × 2 = 10 5 × 3 = 15 5 × 4 = 20 5 × 5 = 25 dan seterusnya Jadi, kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, dan seterusnya.

2. Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan

Sudahkah kamu memahami kelipatan bilangan? Jika sudah, mari kita teruskan mempelajari kelipatan persekutuan dua bilangan. Apakah kelipatan persekutuan itu? Mari kita selidiki bersama.

a. Bapak/Ibu Guru telah menggambar sebuah garis bilangan di papan tulis.

b. Guru meminta siswa untuk menuliskan bilangan loncat 2 dan bilangan loncat 3.

c. Salah seorang siswa maju ke depan menuliskan bilangan loncat 2, sedangkan siswa yang lain menulis di bukunya masing-masing.

d. Berikutnya giliran salah seorang siswa lainnya menggambarkan garis bilangan loncat yang menunjukkan kelipatan bilangan 3.

e. Catatlah bilangan-bilangan yang dilalui oleh kedua garis bilangan sekaligus (garis kelipatan 2 dan garis kelipatan 3).

f. Disebut apakah bilangan-bilangan tersebut? Diskusikan dengan kawan-kawanmu.

Mari kita bahas kegiatan ayo bermain di atas. Cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan garis bilangan loncat berikut ini.

Bilangan-bilangan kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …

Bilangan-bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …

Bilangan-bilangan yang sama dari kelipatan kedua bilangan tersebut adalah 6, 12, 18, 24, …

Bilangan-bilangan 6, 12, 18, 24, … disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan 3.

Samakah jawaban kalian? Cobalah untuk kelipatan-kelipatan bilangan yang lain. Setelah itu, mari kita tuliskan kesimpulan bersama-sama.

Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatankelipatan dari dua bilangan tersebut yang bernilai sama.

B. Faktor Bilangan

Selain kelipatan, setiap bilangan juga mempunyai faktor. Apakah yang disebut faktor? Bagaimana cara menentukannya? Mari kita pelajari bersama.

1. Menentukan Faktor Suatu Bilangan Apa hubungannya dengan operasi perkalian dan pembagian? Mari kita perhatikan pembagian di bawah ini. 6 : 1 = 6 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2 6 : 6 = 1

Ternyata bilangan 6 habis dibagi oleh bilangan-bilangan 1, 2, 3, dan 6. Dengan cara lain, dapat dituliskan sebagai berikut. 6 = 1 × 6 6 = 2 × 3 6 = 3 × 2 6 = 6 × 1 Dapat juga dituliskan dalam petak perkalian di bawah ini.

Bilangan-bilangan 1, 2, 3, dan 6 disebut faktor dari bilangan 6.

Dari pembahasan di atas, Kalian dapat menyimpulkan pengertian faktor dari suatu bilangan. Mari kita tuliskan bersama.

Faktor adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilanganbilangan yang membagi habis bilangan tersebut.

Apakah 4 dan 5 merupakan faktor dari bilangan 6? Jawabannya tentu saja bukan.

Contoh: Tentukan faktor dari bilangan 8 dan 9

Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, 8 Faktor dari 9 adalah 1, 3, 9

2. Faktor Persekutuan Dua Bilangan

Kalian telah memahami kelipatan persekutuan, bukan? Secara umum pengertian faktor persekutuan hampir sama. Mari kita pelajari bersama-sama.

Faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, 6 Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, 8 Jadi, faktor persekutuan dari 6 dan 8 adalah 1, 2

Nah, dari sekilas contoh di atas cobalah berdiskusi untuk menuliskan kesimpulan tentang pengertian faktor persekutuan. Cocokkan hasil diskusi kalian dengan pengertian berikut ini.

Faktor persekutuan dari dua bilangan adalah faktor-faktor dari dua bilangan tersebut yang bernilai sama.

Contoh: Tentukan faktor persekutuan dari 12 dan 18 Jawab: Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12 Faktor dari 18 adalah 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 Jadi, faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, 6

C. Bilangan Prima

Setelah kita mempelajari kelipatan dan faktor dari suatu bilangan, sekarang akan kita pelajari suatu bilangan yang mempunyai sifat khusus berkaitan dengan faktor.

Dari kegiatan ayo bermain di atas, apakah bilangan-bilangan yang masih tersisa (tidak dicoret) sama seperti di bawah ini? 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 91 97

Coba kamu tuliskan faktor-faktor dari masing-masing bilangan tersebut. Keistimewaan apa yang kamu dapatkan?

Bilangan-bilangan tersebut hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan seperti ini disebut bilangan prima. Sehingga dapat kita simpulkan sebagai berikut.

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai 2 faktor, yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri.

Dari tabel di atas dapat kalian ketahui bahwa yang memiliki 2 faktor adalah bilangan 11 dan 29 11 faktornya 1 dan 11 29 faktornya 1 dan 29 Jadi, yang merupakan bilangan prima adalah 11 dan 29

D. KPK dan FPB

Setelah mempelajari konsep kelipatan dan faktor dari suatu bilangan serta dapat menentukan kelipatan persekutuan dan faktor persekutuan, selanjutnya mari kita pelajari kelipatan persekutuan terkecil yang biasa disingkat KPK dan faktor persekutuan terbesar yang biasa disingkat FPB.

1. Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Apakah yang dimaksud KPK dari dua bilangan? Bagaimanakah cara menentukannya? Mari kita bahas dan pelajari bersama.

Mari kita cari kelipatan persekutuan dari bilangan 4 dan 6. Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12 , 16, 20, 24 , 28, 32, 36 , 40, 48 … Kelipatan 6 adalah 6, 12 , 18, 24 , 30, 36 , 42, 48 , 54, 60, … Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, 36, 48, …

Coba kamu perhatikan. Berapakah kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 yang paling kecil? Bilangan itulah yang disebut KPK dari 4 dan 6. Jadi, diperoleh KPK dari 4 dan 6 adalah 12.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan adalah kelipatan persekutuan bilanganbilangan tersebut yang nilainya paling kecil.

Contoh: Tentukan KPK dari 8 dan 12

Jawab: Kelipatan 8 adalah 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, … Kelipatan 12 adalah 12, 24, 36, 48, 60, 72, … Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 adalah 24, 48, 72, … Jadi, KPK dari 8 dan 12 adalah 24

2. Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Setelah memahami KPK, bagaimana dengan FPB? Dapatkah kalian menuliskan pengertiannya?

Sekarang, cocokkan hasil diskusi kalian dengan pengertian FPB di bawah ini.

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah faktor persekutuan bilanganbilangan tersebut yang nilainya paling besar.

Contoh: Tentukan FPB dari: a. 12 dan 15 b. 24 dan 30

Jawab: a. Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12 Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 Faktor persekutuan 12 dan 15 adalah 1, 3 Jadi, FPB dari 12 dan 15 adalah 3

b. Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Faktor persekutuan 24 dan 30 adalah 1, 2, 3, 6 Jadi, FPB dari 24 dan 30 adalah 6

E. Menyelesaikan Masalah KPK dan FPB

Apa kegunaan KPK dan FPB? Adakah contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep KPK dan FPB? Mari kita bahas dan pelajari bersama.

1. Menyelesaikan Masalah Berkaitan dengan KPK

Ema dan Menik sama-sama ikut les matematika. Ema masuk setiap 4 hari sekali, sedangkan Menik masuk setiap 6 hari sekali. Jika hari ini mereka masuk les bersama-sama, berapa hari lagi mereka masuk les bersama-sama dalam waktu terdekat?

Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan di atas? Mari kita selesaikan bersama-sama. Berikut adalah urutan jadwal Ema dan Menik masuk les setelah hari ini.

Ema 4 hari lagi 8 hari lagi 12 hari lagi 16 hari lagi … Menik 6 hari lagi 12 hari lagi 18 hari lagi 24 hari lagi …

Jadi, mereka akan kembali masuk les bersama-sama dalam 12 hari lagi.

Apa yang dapat kalian simpulkan dari penyelesaian masalah di atas? Betul, 12 adalah KPK dari 4 dan 6. Jadi, penyelesaian permasalahan di atas menggunakan KPK.

2. Menyelesaikan Masalah Berkaitan dengan FPB

Dalam rangka merayakan hari ulang tahunnya, Ema membagikan 75 buku tulis dan 50 pensil kepada anak-anak yatim piatu. Setiap buku tulis dan pensil akan dibagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama banyak.

a. Berapa anak yatim yang bisa mendapatkan buku tulis dan pensil?

b. Berapa buku tulis dan pensil untuk masing-masing anak?

Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan kali ini? Mari kita selesaikan bersama-sama.

Ada 75 buku tulis. Agar setiap anak mendapat bagian yang sama banyak, maka buku tulis tersebut dapat dibagikan kepada:

1 anak, 3 anak, 5 anak, 15 anak, 25 anak, atau 75 anak

Ada 50 pensil. Agar setiap anak mendapat bagian yang sama banyak, maka pensil tersebut dapat dibagikan kepada:

1 anak, 2 anak, 5 anak, 10 anak, 25 anak, atau 50 anak

Jika setiap buku tulis dan pensil dibagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama banyak, maka buku tulis dan pensil tersebut dapat dibagikan kepada 1 anak, 5 anak, atau 25 anak.

Jadi, penyelesaian masalah di atas adalah sebagai berikut.

a. Banyak anak yatim yang mendapatkan buku tulis dan pensil dengan bagian yang sama, paling banyak 25 anak.

b. Setiap anak mendapatkan 75 : 25 = 3 buku tulis dan 50 : 25 = 2 pensil.

Jika kamu perhatikan dengan seksama, 25 adalah FPB dari 75 dan 50. Jadi, penyelesaian permasalahan di atas dilakukan dengan menggunakan FPB.

Rangkuman

1. Bilangan kelipatan 2 diperoleh dengan menambahkan 2 dari bilangan sebelumnya atau mengalikan 2 dengan bilangan 1, 2, 3, dan seterusnya. Contoh: 2, 4, 6, 8, 10, 12, dan seterusnya.

2. Kelipatan persekutuan dari dua bilangan adalah kelipatankelipatan dari dua bilangan tersebut yang bernilai sama. Contoh: kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 6, 12, 18, ….

3. Faktor adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Contoh: faktor dari bilangan 8 adalah 1, 2, 4, dan 8.

4. Faktor persekutuan dari dua bilangan adalah faktor-faktor dari dua bilangan tersebut yang bernilai sama. Contoh: faktor persekutuan dari 6 dan 8 adalah 1 dan 2.

5. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai 2 faktor, yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: bilangan prima meliputi 1, 3, 5, 7, ….

6. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan adalah kelipatan persekutuan bilangan-bilangan tersebut yang nilainya paling kecil. Contoh: KPK dari 8 dan 12 adalah 24.

7. Kelipatan persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah faktor persekutuan bilangan-bilangan tersebut yang nilainya paling besar. Contoh: FPB dari 12 dan 15 adalah 3.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s